Forstå Eksponentiel Regression

Når et fænomen enten skalerer op eller ned med en konstant procent pr. tidsinterval, taler man om eksponentiel vækst eller nedgang. En central illustration af denne type udvikling er den formel, der beskriver renters rente.

Man kunne også overveje et scenarie med en bestemt type mikroorganismer, der fordobles (en stigning på 100%) hver eneste time. Hvis udgangspunktet er 3 mikroorganismer, vil der efter én time være:

$$3 \times 2 = 6$$

6 mikroorganismer. Following two hours, the count will reach:

$$6 \times 2 = 12$$

12 mikroorganismer. Efter tre timer vil antallet være:

$$12 \times 2 = 24$$

24 mikroorganismer, og så videre...

Det er værd at bemærke, at vi kan udtrykke disse tal på en anden måde:

$$6 = 3 \times 2^1$$

$$12 = 3 \times 2^2$$

$$24 = 3 \times 2^3$$

Hvis vi betegner antallet af mikroorganismer efter et givet antal timer, kaldet x, med y, kan vi formulere det som:

$$y = 3 \times 2^x$$

Dette repræsenterer et typisk eksempel på eksponentiel udvikling.

Generelt set har eksponentielle udviklinger følgende struktur:

$$y = b \times a^x, \quad a > 0$$

Vi har tidligere konstateret, at x og y er variable, hvor y's værdi afhænger af den x-værdi, der indsættes på højre side. Derfor er y den afhængige variabel, mens x er den uafhængige variabel.

Men hvad repræsenterer a og b så i denne sammenhæng?

Konstanten a, kendt som fremskrivningsfaktoren, indikerer ændringstakten for y i forhold til x. Hvis y øges med en rente, r, pr. x, gælder følgende:

$$a = 1 + r$$

Dette er ækvivalent med at sige:

$$r = a - 1$$

Hvis vi informeres om, at y stiger med 5 procent for hver enhed af x, så er:

$$a = 1 + r = 1 + 5\% = 1 + 0,05 = 1,05$$

Og hvis det oplyses, at y falder med 7 procent for hver enhed af x, er:

$$a = 1 + r = 1 + (-7\%) = 1 - 0,07 = 0,93$$

Hvis vi omvendt får at vide, at a = 1,23, kan vi beregne r således:

$$r = a - 1 = 1,23 - 1 = 0,23 = 23\%$$

Generelt kan vi observere følgende:

Hvis a > 1, er udviklingen voksende.

Hvis 0 < a < 1, er udviklingen aftagende.

Konstanten b betegnes som begyndelsesværdien og repræsenterer den startværdi, man opererer med. I eksemplet med mikroorganismerne ovenfor var b lig med 3.

På en graf kan begyndelsesværdien aflæses som punktet, hvor grafen skærer y-aksen.

I dette specifikke tilfælde kan vi se, at b udgør 2,5.

Det er ikke muligt at aflæse værdien af a direkte fra grafen på samme måde. Dog kan det observeres, at hvis a er større end 1, vil grafen vise en opadgående tendens, mens en værdi af a mindre end 1 (men stadig større end nul) vil resultere i en nedadgående kurve.

Det skal bemærkes, at grafen aldrig krydser x-aksen.

Følgende tabel viser, hvordan man identificerer begyndelsesværdien, fremskrivningsfaktoren og vækstraten baseret på forskriften for en eksponentiel udvikling.

Ved at plotte en eksponentiel funktion i et semilogaritmisk koordinatsystem (hvor y-aksen er logaritmisk, mens x-aksen har en almindelig skala) opnår man en lige linje.

Bestemmelse af x og y

Når x er kendt, og målet er at finde den tilsvarende y-værdi, kan x blot indsættes på højre side af ligningen for at observere den resulterende y-værdi.

Omvendt, hvis y er kendt, og det er nødvendigt at finde den tilhørende x-værdi, kræver det først en isolering af x. Dette involverer anvendelse af logaritmeregler.

$$y = b \times a^x$$

$$\frac{y}{b} = a^x$$

$$\log\left(\frac{y}{b}\right) = \log(a^x)$$

$$\log(y) - \log(b) = x \times \log(a)$$

$$\frac{\log(y) - \log(b)}{\log(a)} = x$$

Ved hjælp af denne formel kan x bestemmes:

$$x = \frac{\log(y) - \log(b)}{\log(a)}$$

Lad os gennemgå et eksempel.

Hvis funktionen er:

$$y = 5 \times 2^x$$

og vi får oplyst, at x = 3, kan y beregnes således:

$$y = 5 \times 2^x = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40$$

Hvis vi derimod får at vide, at y = 80, kan x bestemmes som følger:

$$x = \frac{\log(y) - \log(b)}{\log(a)} = \frac{\log(80) - \log(5)}{\log(2)} = \frac{1,903 - 0,699}{0,301} = 4$$

Video Lektion